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By Salzmann H.

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Pour y E T(T)). Soient w E W, y E T(T), a E R(G, T ) et n E Z. On a : - Il en résulte que pour toute chambre C et tout w E W, w(C) est une chambre et que pour toute alcôve A et tout w E Wa, w(A) est une alcôve. no 1). No 2 CLASSES DE CONJUGAISON LIE IX. 45 PROPOSITION 2. -a ) Le groupe W , (resp. W a )est produit semi-direct de W par N ( G , T ) (resp. T ( T ) ) ;le sous-groupe W , de Wa est distingué. b ) Le groupe W (resp. W , ) opère de façon simplement transitive dans l'ensemble des chambres (resp.

En effet, T n D(G) est un tore maximal de D(G) (6 2, no 3, prop. 1, c)); de la suite exacte et de la proposition 11, on tire une suite exacte d'où le corollaire, puisque n,(D(G)) est fini et T(T/(T n D(G))) libre. 7. Sous-groupes de rang maximum Rappelons (VI, 6 1, no 7) qu'une partie P de R = R(G, T) est dite close si (P + P ) n R c P, et symétrique si P = - P. PROPOSITION 12. - Soit 2 l'ensemble des sous-groupes fermés connexes de G contenant T, ordonné par inclusion. L'application H ++ R(H, T) est une bijection croissante de 2 sur l'ensemble des parties closes et symétriques de R(G, T), ordonné par inclusion.

4) De même, soit N un groupe commutatif fini, et cp :nl(G) + N un homomorphisme surjectif. Soit G ' le revêtement de G associé à cet homomorphisme ; c'est un groupe de Lie compact connexe, dont N est un sous-groupe central (TG, XI, à paraître), et G s'identifie naturellement à G1/N. Soit T' le tore maximal de G ' image réciproque de T. Si (P, Po, S) est le diagramme covariant de G relativement à T, le diagramme covariant de G' relativement à T' s'identifie à (P', Po, S), où P' est le noyau de l'homomorphisme composé cp 0 f (G, T) : P + N (cJ no 6, prop.

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by George
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