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By Professor Gert Böhme (auth.)

ISBN-10: 3540150919

ISBN-13: 9783540150916

ISBN-10: 3642968821

ISBN-13: 9783642968822

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Sofern das verbleibende Integral noch nicht losbar ist, wird man dies weiter behandeln miissen und dabei gegebenenfalls wieder die Methode der Produktintegration heranziehen. Erst durch eine groBere Anzahl von Beispielen kann der Studierende hier zu einer hinreichenden Sicherheit im Integrieren gelangen. Beispiele 1. Gesucht ist f x cos x dx. Losung: Man setze u =x dv = cosxdx } => du v = dx = sin x und erhalt nach der Formel der Produktintegration Sx cos x dx = x sin x - Ssin x dx = x sin x + cos x + C• 28 1.

Satz Vertauscht man die Integrationsgrenzen, so andert der In- tegral wert sein Vorzeichen: a b f f(x)dx =- a Beweis: 1st f f f(x)dx b b f(x)dx = F(b) - F(a), a so ergibt sich fiir f a f b f(x)dx = F(a) - F(b) = -[F(b) - F(a)] = - b f(x)dx. a Schreibt man beide Integrale auf eine Seite, so kann die Gleichung J J a b f(x)dx + a f(x)dx = 0 b wie folgt verstanden werden: Integriert man zuerst von a nach b und anschlieBend von b nach a, also auf der x-Achse die Strecke a b einmal hin und zuriick, so ist fUr diesen geschlossenen Integrationsweg der Wert des Integrals gleich Null (Abb.

Man multipliziert die Ansatzgleichung wieder mit dem Hauptnenner durch, setzt nacheinander fur x die Nullstellen und auBerdem noch so viele weitere x-Werte ein, als zur vollstandigen Bestimmung samtlicher Koeffizienten natig sind. Man erhalt zunachst eine Anzahl von Koeffizienten unmittelbar und dann ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der ubrigen. Beispiele 1 • f 2x + 3 (x_1)2(X+l) dx = ? Lasung: Das Nennerpolynom hat die Nullstelle xl = 1 doppelt und die Nullstelle x 2 = - 1 einfach.

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Analysis: Teil 2 Integralrechnung, Reihen, Differentialgleichungen by Professor Gert Böhme (auth.)


by John
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